Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
y' e^(pi x) = y^2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação usando a técnica de EDO Separável. Para isso, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado. Sabemos que , então podemos dividir os dois lados por :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e do lado direito em relação a :

Passo 5

Calculando a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:

Passo 6

Igualando as integrais e combinando as constantes e em uma única constante :

Passo 7

Agora, vamos isolar . Primeiro, aplicamos a tangente em ambos os lados para se livrar da arctan:
Podemos simplificar a constante para , já que é uma constante arbitrária:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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