Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação
usando a técnica de EDO Separável. Para isso, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado. Sabemos que
, então podemos dividir os dois lados por
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e do lado direito em relação a
:
Passo 5
Calculando a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Passo 6
Igualando as integrais e combinando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Agora, vamos isolar
. Primeiro, aplicamos a tangente em ambos os lados para se livrar da arctan:
Podemos simplificar a constante
para
, já que
é uma constante arbitrária:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Usando integral tripla, calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro
(parte interna) e por:
(2.3) esfera
(2.3) esfera
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Determine a massa dos seguintes sólidos:
(4.2) limitado pelo cilindro de raio e altura
, cuja densidade em cada ponto é diretamente proporcional ao quadrado da distância entre cada ponto e o centro da base, assumindo o valor
na borda da base
(4.2) limitado pelo cilindro de raio
Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.1)
(9.1)