Calcule as integrais triplas integral duplaU integral f(x, y, z) d x d y d z para o sólido U limitado pelos objetos listados abaixo e para a f apontada:
(1.6) esferas x^2+y^2+z^2=25, x^2+y^2+z^2=9 e pelos cones z=raizx^2+y^2 e z=2 raizx^2+y^2; f(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^32

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para calcular uma integral tripla sobre um sólido que está limitado por duas esferas e dois cones. A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são bem úteis quando temos simetria esférica e cones. Então, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas esféricas e como transformar a integral para esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa coordenada, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi (a distância do ponto até a origem), dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta (o ângulo no plano a partir do eixo ), e (o ângulo entre o eixo e a linha que liga a origem ao ponto). A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Vamos usar essas fórmulas para transformar nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para zraizx^2+y^2 = cotphi , e .
  • Para : As esferas são e . Então, .
  • Para : Como não há restrição angular no plano , varia de a .
  • Para : Os cones são dados por e . Em coordenadas esféricas, isso se traduz para:
Para o primeiro cone , temos , ou seja, .
Para o segundo cone , temos , ou seja, .
Então, .

Passo 4

Vamos montar a integral usando as coordenadas esféricas:
integral triplaU f(x, y, z) , dV = integral0^2pi integralarctan(12)^pi4 integral3^5 (rho^2)^32 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando integral0^2pi integralarctan(12)^pi4 integral3^5 rho^3 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral0^2pi integralarctan(12)^pi4 integral3^5 rho^5 sinphi , drho , dphi , dtheta , temos:
integral3^5 rho^5 , drho = [rho^66]3^5 = 5^6 - 3^66 = 15625 - 7296 = 148966 = 24826
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a integralarctan(12)^pi4 sinphi , dphi = [-cosphi]arctan(12)^pi4 = -cos(pi4) + cos(arctan(12)) :
- raiz22 + 2raiz5 = 2raiz5 - raiz22
Em seguida, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :
Sabemos que e , então:
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

Multiplicando todos os resultados, a integral tripla vale:
integral triplaU f(x, y, z) , dV = 2pi cdot 148966 cdot ( 2raiz5 - raiz22 ) = 14896 pi3 ( 2raiz5 - raiz22 )

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