Calcule as integrais triplas para o sólido limitado pelos objetos listados abaixo e para a apontada:
(1.6) esferas e pelos cones e ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para calcular uma integral tripla sobre um sólido que está limitado por duas esferas e dois cones. A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são bem úteis quando temos simetria esférica e cones. Então, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas esféricas e como transformar a integral para esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa coordenada, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo no plano a partir do eixo ), e (o ângulo entre o eixo e a linha que liga a origem ao ponto). A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Vamos usar essas fórmulas para transformar nossa integral.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para zraizx^2+y^2 = cotphi , e .
Para : As esferas são e . Então, .
Para : Como não há restrição angular no plano , varia de a .
Para : Os cones são dados por e . Em coordenadas esféricas, isso se traduz para:
Para o primeiro cone , temos , ou seja, .
Para o segundo cone , temos , ou seja, .
Então, .
Passo 4
Vamos montar a integral usando as coordenadas esféricas:
integral triplaU f(x, y, z) , dV = integral0^2pi integralarctan(12)^pi4 integral3^5 (rho^2)^32 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta