Determine a massa dos seguintes sólidos:
(4.2) limitado pelo cilindro de raio a e altura H, cuja densidade em cada ponto é diretamente proporcional ao quadrado da distância entre cada ponto e o centro da base, assumindo o valor sigma_0 na borda da base

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinar a massa de um cilindro com raio e altura . A densidade em cada ponto desse cilindro depende do quadrado da distância desse ponto ao centro da base. Na borda da base, essa densidade é . Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas e entender como a densidade varia dentro do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a densidade varia dentro do cilindro. A densidade é diretamente proporcional ao quadrado da distância do ponto ao centro da base. Então podemos escrever:
Aqui, é uma constante de proporcionalidade que precisamos determinar.

Passo 3

Sabemos que na borda da base, onde , a densidade é . Vamos usar isso para encontrar :
Então, a densidade em qualquer ponto do cilindro é:

Passo 4

Para encontrar a massa do cilindro, precisamos integrar a densidade sobre todo o volume do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por . Assim, a massa é:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral em :
Depois, a integral em :
E por último, a integral em :

Passo 6

Agora, substituímos todas essas integrais de volta na equação da massa:
Simplificando os termos:

Resposta

A massa do cilindro é:

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