Determine a massa dos seguintes sólidos:
(4.2) limitado pelo cilindro de raio
e altura
, cuja densidade em cada ponto é diretamente proporcional ao quadrado da distância entre cada ponto e o centro da base, assumindo o valor
na borda da base
(4.2) limitado pelo cilindro de raio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinar a massa de um cilindro com raio
e altura
. A densidade em cada ponto desse cilindro depende do quadrado da distância desse ponto ao centro da base. Na borda da base, essa densidade é
. Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas e entender como a densidade varia dentro do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a densidade
varia dentro do cilindro. A densidade é diretamente proporcional ao quadrado da distância
do ponto ao centro da base. Então podemos escrever:
Aqui,
é uma constante de proporcionalidade que precisamos determinar.
Passo 3
Sabemos que na borda da base, onde
, a densidade é
. Vamos usar isso para encontrar
:
Então, a densidade em qualquer ponto do cilindro é:
Passo 4
Para encontrar a massa do cilindro, precisamos integrar a densidade sobre todo o volume do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por
. Assim, a massa
é:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral em
:
Depois, a integral em
:
E por último, a integral em
:
Passo 6
Agora, substituímos todas essas integrais de volta na equação da massa:
Simplificando os termos:
Resposta
A massa do cilindro é: