Escreva a forma quadrática Q(h1, h2) associada à matriz simétrica A e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.1) A = [[2, -1], [-1, 1]]

Passo 1

Beleza, então o que a gente vai fazer aqui é escrever a forma quadrática que está associada à matriz simétrica . Depois disso, vamos classificar essa forma quadrática como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida ou negativa semidefinida. Para isso, vamos precisar entender o que é uma forma quadrática e como ela se relaciona com a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma forma quadrática em duas variáveis e pode ser representada da seguinte maneira:
onde , e são os elementos da matriz simétrica . A matriz é dada por:

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de , e na matriz . Observando a matriz, temos:
  • (primeiro elemento da diagonal)
  • (elemento fora da diagonal)
  • (segundo elemento da diagonal)

Passo 4

Com esses valores, podemos substituir na fórmula da forma quadrática:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos a forma quadrática, vamos classificá-la. Para isso, vamos analisar os autovalores da matriz . A classificação depende dos sinais dos autovalores:
  • Positiva definida: todos os autovalores são positivos.
  • Negativa definida: todos os autovalores são negativos.
  • Indefinida: autovalores de sinais diferentes.
  • Positiva semidefinida: todos os autovalores são não negativos.
  • Negativa semidefinida: todos os autovalores são não positivos.

Passo 6

Vamos encontrar os autovalores de . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Calculando:
A determinante é:
Expandindo:
Então, a equação característica é:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática para :
Portanto, os autovalores são:
Ambos os autovalores são positivos, já que , então e .

Passo 8

Como ambos os autovalores são positivos, concluímos que a forma quadrática é positiva definida.

Resposta

A forma quadrática associada à matriz é e ela é positiva definida.

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