Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.1)
(9.1)
Passo 1
Beleza, então o que a gente vai fazer aqui é escrever a forma quadrática
que está associada à matriz simétrica
. Depois disso, vamos classificar essa forma quadrática como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida ou negativa semidefinida. Para isso, vamos precisar entender o que é uma forma quadrática e como ela se relaciona com a matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma forma quadrática em duas variáveis
e
pode ser representada da seguinte maneira:
onde
,
e
são os elementos da matriz simétrica
. A matriz
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores de
,
e
na matriz
. Observando a matriz, temos:
-
(primeiro elemento da diagonal) -
(elemento fora da diagonal) -
(segundo elemento da diagonal)
Passo 4
Com esses valores, podemos substituir na fórmula da forma quadrática:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos a forma quadrática, vamos classificá-la. Para isso, vamos analisar os autovalores da matriz
. A classificação depende dos sinais dos autovalores:
- Positiva definida: todos os autovalores são positivos.
- Negativa definida: todos os autovalores são negativos.
- Indefinida: autovalores de sinais diferentes.
- Positiva semidefinida: todos os autovalores são não negativos.
- Negativa semidefinida: todos os autovalores são não positivos.
Passo 6
Vamos encontrar os autovalores de
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Calculando:
A determinante é:
Expandindo:
Então, a equação característica é:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática para
:
Portanto, os autovalores são:
Ambos os autovalores são positivos, já que
, então
e
.
Passo 8
Como ambos os autovalores são positivos, concluímos que a forma quadrática
é positiva definida.
Resposta
A forma quadrática associada à matriz
é
e ela é positiva definida.
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Determine a massa dos seguintes sólidos:
(4.2) limitado pelo cilindro de raio e altura
, cuja densidade em cada ponto é diretamente proporcional ao quadrado da distância entre cada ponto e o centro da base, assumindo o valor
na borda da base
(4.2) limitado pelo cilindro de raio
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.