Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A gente vai usar a técnica de EDO Separável, que é quando a gente consegue separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação. Pra isso, precisamos entender que uma EDO separável tem a forma
, onde conseguimos colocar tudo de
de um lado e tudo de
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
. Agora, a gente vai separar as variáveis
e
.
Passo 3
Vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
para deixar tudo em termos de
de um lado e
do outro:
Pronto, agora temos a variável
isolada no lado esquerdo e tudo em termos de
no lado direito.
Passo 4
Agora, precisamos integrar ambos os lados para encontrar
. A integral de
é:
No lado direito, vamos simplificar
. Sabemos que
, então:
Aí, juntando tudo, temos:
Onde
é uma constante geral.
Passo 5
Para resolver para
, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Podemos simplificar
para uma nova constante
, então:
Onde
é uma constante qualquer.
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão final. Sabemos que
, então nossa solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.1)
(9.1)
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Sejam
diferenciável e
. Calcule
e
.