Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
y' * sen(pi x) = y * cos(pi x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A gente vai usar a técnica de EDO Separável, que é quando a gente consegue separar as variáveis e em lados diferentes da equação. Pra isso, precisamos entender que uma EDO separável tem a forma , onde conseguimos colocar tudo de de um lado e tudo de do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Aqui, é a derivada de em relação a . Agora, a gente vai separar as variáveis e .

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por para deixar tudo em termos de de um lado e do outro:
Pronto, agora temos a variável isolada no lado esquerdo e tudo em termos de no lado direito.

Passo 4

Agora, precisamos integrar ambos os lados para encontrar . A integral de é:
No lado direito, vamos simplificar . Sabemos que , então:
Aí, juntando tudo, temos:
Onde é uma constante geral.

Passo 5

Para resolver para , vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Podemos simplificar para uma nova constante , então:
Onde é uma constante qualquer.

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão final. Sabemos que , então nossa solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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