Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
2xyy' = 3y^2 + x^2, y(1) = 2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa resolver. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
E uma condição inicial que diz que quando , . O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) separáveis. Vamos precisar separar as variáveis e pra conseguir resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação pra isolar . Dividindo ambos os lados por , temos:
Agora, queremos separar as variáveis e . Para isso, vamos simplificar a fração:

Passo 3

Percebe como ainda está complicadinho? Então, vamos fazer uma substituição pra facilitar. Vamos definir . Aí, derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo na equação original:
Agora, temos uma equação linear em termos de e :

Passo 4

Essa é uma equação linear e a gente resolve usando um fator integrante. Primeiro, calculamos o fator integrante :
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
A esquerda vira a derivada de :
Integrando ambos os lados:
Lembrando que :

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial pra encontrar a constante :
Substituindo na equação:

Resposta

A solução particular do problema é:

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