Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa resolver. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
E uma condição inicial que diz que quando
,
. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) separáveis. Vamos precisar separar as variáveis
e
pra conseguir resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação pra isolar
. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos simplificar a fração:
Passo 3
Percebe como ainda está complicadinho? Então, vamos fazer uma substituição pra facilitar. Vamos definir
. Aí, derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo na equação original:
Agora, temos uma equação linear em termos de
e
:
Passo 4
Essa é uma equação linear e a gente resolve usando um fator integrante. Primeiro, calculamos o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
A esquerda vira a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que
:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
pra encontrar a constante
:
Substituindo
na equação:
Resposta
A solução particular do problema é:
Exercícios relacionados
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Sejam
diferenciável e
. Calcule
e
.
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável: