Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
x y' = y + 4 x^5 cos^2(y/x), y(2) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! O enunciado pede para achar a solução particular de uma equação diferencial ordinária (EDO) separável com um valor inicial. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais e, mais especificamente, EDOs Separáveis. Para isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a separação das variáveis. A equação é:
Vamos dividir ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Substituindo na equação original:

Passo 4

Observamos que o termo aparece dos dois lados e pode ser cancelado:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 5

Vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Lembrando que , então podemos reescrever:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Sabemos que:
Então, integrando:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , temos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :
Dividindo ambos os lados por 2:
Sabemos que , então:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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