Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! O enunciado pede para achar a solução particular de uma equação diferencial ordinária (EDO) separável com um valor inicial. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais e, mais especificamente, EDOs Separáveis. Para isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a separação das variáveis. A equação é:
Vamos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Substituindo
na equação original:
Passo 4
Observamos que o termo
aparece dos dois lados e pode ser cancelado:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 5
Vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Lembrando que
, então podemos reescrever:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Sabemos que:
Então, integrando:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.1)
(9.1)
Determine a massa dos seguintes sólidos:
(4.2) limitado pelo cilindro de raio e altura
, cuja densidade em cada ponto é diretamente proporcional ao quadrado da distância entre cada ponto e o centro da base, assumindo o valor
na borda da base
(4.2) limitado pelo cilindro de raio
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável: