Sejam f(x, y) diferenciável e F(r, θ) = f(r cos(θ), r sen(θ)). Calcule Fr = F_r e F_theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é diferenciável, e queremos analisar uma nova função . Isso está no contexto de cálculo multivariável, especificamente mudando de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Para resolver isso, a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é expressa em coordenadas polares. Isso significa que e . Para achar e , vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular , a derivada parcial de em relação a . Aplicando a regra da cadeia:
Sabemos que:
Então substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada parcial de em relação a . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que:
Então substituindo:

Resposta

As derivadas parciais são:

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