Sejam
diferenciável e
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é diferenciável, e queremos analisar uma nova função
. Isso está no contexto de cálculo multivariável, especificamente mudando de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Para resolver isso, a gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é
expressa em coordenadas polares. Isso significa que
e
. Para achar
e
, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
. Aplicando a regra da cadeia:
Sabemos que:
Então substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que:
Então substituindo:
Resposta
As derivadas parciais são: