Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e essas condições. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação diferencial homogênea . Para isso, encontramos a equação característica associada, que é . Resolvendo para :

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas e , a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde e são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Aplicamos a primeira condição inicial . Substituindo na solução geral:

Passo 5

Agora, derivamos a solução geral para encontrar :
Aplicamos a segunda condição inicial . Substituindo :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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