Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem
com condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e essas condições. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação diferencial homogênea
. Para isso, encontramos a equação característica associada, que é
. Resolvendo para
:
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas
e
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
e
são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Aplicamos a primeira condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Passo 5
Agora, derivamos a solução geral para encontrar
:
Aplicamos a segunda condição inicial
. Substituindo
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: