(a) Mostre que a solução geral da EDO de segunda ordem:
, onde
, pode ser escrita na forma:
, sendo
e
constantes arbitrárias. Esta forma é frequentemente chamada de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
pode ser escrita na forma:
onde
e
são constantes arbitrárias. Para resolver isso, precisamos entender como resolver EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes e como chegar à forma da solução envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma mais familiar. A equação dada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, que pode ser escrita como:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada.
Passo 3
Para resolver essa EDO, vamos encontrar a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo
na EDO, o que nos dá:
Essa é uma equação quadrática em
.
Passo 4
Vamos resolver a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Passo 5
Como o discriminante
é negativo, as raízes são complexas. Podemos expressar as raízes como:
Isso significa que temos uma parte real
e uma parte imaginária
.
Passo 6
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da EDO é dada por:
No nosso caso,
e
.
Passo 7
Podemos reescrever a solução usando a identidade trigonométrica para combinar o cosseno e o seno em uma única função cosseno com fase. Ou seja:
onde
e
são constantes arbitrárias que englobam tanto a amplitude quanto a fase da solução.
Resposta
Assim, mostramos que a solução geral da EDO dada pode ser escrita como:
Essa forma é frequentemente chamada de solução geral de uma EDO de segunda ordem com raízes complexas conjugadas.
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Resolva as EDO
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