(a) Mostre que a solução geral da EDO de segunda ordem: , onde , pode ser escrita na forma: , sendo e constantes arbitrárias. Esta forma é frequentemente chamada de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
pode ser escrita na forma:
onde e são constantes arbitrárias. Para resolver isso, precisamos entender como resolver EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes e como chegar à forma da solução envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma mais familiar. A equação dada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, que pode ser escrita como:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.

Passo 3

Para resolver essa EDO, vamos encontrar a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo na EDO, o que nos dá:
Essa é uma equação quadrática em .

Passo 4

Vamos resolver a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:

Passo 5

Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas. Podemos expressar as raízes como:
Isso significa que temos uma parte real e uma parte imaginária .

Passo 6

Quando as raízes são complexas da forma , a solução geral da EDO é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 7

Podemos reescrever a solução usando a identidade trigonométrica para combinar o cosseno e o seno em uma única função cosseno com fase. Ou seja:
onde e são constantes arbitrárias que englobam tanto a amplitude quanto a fase da solução.

Resposta

Assim, mostramos que a solução geral da EDO dada pode ser escrita como:
Essa forma é frequentemente chamada de solução geral de uma EDO de segunda ordem com raízes complexas conjugadas.

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Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
Resolva as EDO
Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente: