Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial
. Isso entra na matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos usar o método das Equações Características, que é bem prático para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução da equação diferencial tem a forma
, onde
é um número que precisamos descobrir. Essa é uma técnica comum porque, ao substituir essa forma na equação, conseguimos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
- A primeira derivada é
. - A segunda derivada é
.
Substituindo essas no enunciado da equação:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
:
Assim, temos duas soluções para
:
Esses valores de
nos dizem que as soluções particulares da equação diferencial são:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.