Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial
. Isso entra na matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos usar o método das Equações Características, que é bem prático para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução da equação diferencial tem a forma
, onde
é um número que precisamos descobrir. Essa é uma técnica comum porque, ao substituir essa forma na equação, conseguimos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
- A primeira derivada é
. - A segunda derivada é
.
Substituindo essas no enunciado da equação:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
:
Assim, temos duas soluções para
:
Esses valores de
nos dizem que as soluções particulares da equação diferencial são:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Resolva as EDO
(a) Mostre que a solução geral da EDO de segunda ordem:
, onde
, pode ser escrita na forma:
, sendo
e
constantes arbitrárias. Esta forma é frequentemente chamada de
Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO