Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial . Isso entra na matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos usar o método das Equações Características, que é bem prático para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução da equação diferencial tem a forma , onde é um número que precisamos descobrir. Essa é uma técnica comum porque, ao substituir essa forma na equação, conseguimos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
  • A primeira derivada é .
  • A segunda derivada é .
Substituindo essas no enunciado da equação:
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Portanto, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação característica :
Assim, temos duas soluções para :
Esses valores de nos dizem que as soluções particulares da equação diferencial são:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Resolva as EDO
(a) Mostre que a solução geral da EDO de segunda ordem: , onde , pode ser escrita na forma: , sendo e constantes arbitrárias. Esta forma é frequentemente chamada de
Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:

Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO