Resolva as EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) . Essa é uma equação linear de terceira ordem com um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos descobrir. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, igualamos o polinômio a zero:
Então, as soluções da equação homogênea são:
onde são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea . Como o termo do lado direito é uma fun��ão trigonométrica, tentamos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo e suas derivadas na equação original:
Igualando ao lado direito da equação :
Isso nos dá o sistema de equações:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

(a) Mostre que a solução geral da EDO de segunda ordem: , onde , pode ser escrita na forma: , sendo e constantes arbitrárias. Esta forma é frequentemente chamada de
Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:

Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.