Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
Aqui,
representa a operação derivada em relação a
. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para resolver essa EDO. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações homogêneas e não homogêneas, além de saber como assumir uma forma para a solução particular baseada no lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando:
Portanto, as raízes são
e
, que são distintas e reais.
Passo 4
A solução geral da equação homogênea é então:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
O lado direito da equação é
. Como o termo
não é solução da equação homogênea, podemos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde
,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando, temos:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Substituindo as expressões:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 9
Agora que encontramos os valores de
,
e
, podemos escrever a solução particular:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea (
) com a solução particular (
):
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.