Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
Aqui, representa a operação derivada em relação a . Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para resolver essa EDO. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações homogêneas e não homogêneas, além de saber como assumir uma forma para a solução particular baseada no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando:
Portanto, as raízes são e , que são distintas e reais.

Passo 4

A solução geral da equação homogênea é então:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
O lado direito da equação é . Como o termo não é solução da equação homogênea, podemos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde , e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando, temos:

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Substituindo as expressões:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para o termo constante:

Passo 9

Agora que encontramos os valores de , e , podemos escrever a solução particular:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea ( ) com a solução particular ( ):

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:

Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:

Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.