Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:

Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre equações diferenciais de segunda ordem. Especificamente, temos uma equação homogênea de segunda ordem acompanhada da função . Nosso objetivo é:
  1. Verificar se é realmente uma solução da equação diferencial dada.
  2. Encontrar a solução geral da equação usando essa informação.
Vamos precisar entender como verificar se uma função é solução de uma EDO e, depois, usar esse conhecimento para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
E a função que nos foi dada para verificar:

Passo 3

Para verificar se é uma solução da equação, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de .
Sabemos que:

Passo 4

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Agora, combinando os termos semelhantes:
Então, a equação se reduz a , o que confirma que é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

Passo 6

Agora que sabemos que é uma solução, podemos encontrar a solução geral da equação diferencial. Como a equação é linear e homogênea de segunda ordem, a solução geral será uma combinação linear de duas soluções independentes.
Já temos uma solução, . Precisamos encontrar uma segunda solução linearmente independente, .

Passo 7

Para encontrar , podemos usar o método de redução de ordem. Assumimos que , onde é uma função a ser determinada.
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:

Passo 8

Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 9

Agora, combinamos os termos semelhantes:
Simplificando ainda mais:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 10

Resolvemos a equação diferencial resultante:
Vamos fazer uma substituição para simplificar: deixe , então .
A equação se torna:
Rearranjando:

Passo 11

Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o fator integrante. A equação está na forma:
O fator integrante é:
Multiplicando a equação por :
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que :
Integrando novamente:

Passo 12

Agora, substituímos na expressão para :
Como e são constantes arbitrárias, podemos simplificar e considerar apenas uma constante. Portanto, uma segunda solução independente é:

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das duas soluções independentes e :
Onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
Resolva as EDO
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial: