Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre equações diferenciais de segunda ordem. Especificamente, temos uma equação homogênea de segunda ordem acompanhada da função
. Nosso objetivo é:
- Verificar se
é realmente uma solução da equação diferencial dada. - Encontrar a solução geral da equação usando essa informação.
Vamos precisar entender como verificar se uma função é solução de uma EDO e, depois, usar esse conhecimento para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
E a função que nos foi dada para verificar:
Passo 3
Para verificar se
é uma solução da equação, precisamos calcular as derivadas primeira
e segunda
de
.
Sabemos que:
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Agora, combinando os termos semelhantes:
Então, a equação se reduz a
, o que confirma que
é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.
Passo 6
Agora que sabemos que
é uma solução, podemos encontrar a solução geral da equação diferencial. Como a equação é linear e homogênea de segunda ordem, a solução geral será uma combinação linear de duas soluções independentes.
Já temos uma solução,
. Precisamos encontrar uma segunda solução linearmente independente,
.
Passo 7
Para encontrar
, podemos usar o método de redução de ordem. Assumimos que
, onde
é uma função a ser determinada.
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Passo 8
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 9
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Simplificando ainda mais:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Passo 10
Resolvemos a equação diferencial resultante:
Vamos fazer uma substituição para simplificar: deixe
, então
.
A equação se torna:
Rearranjando:
Passo 11
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o fator integrante. A equação está na forma:
O fator integrante
é:
Multiplicando a equação por
:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que
:
Integrando novamente:
Passo 12
Agora, substituímos
na expressão para
:
Como
e
são constantes arbitrárias, podemos simplificar e considerar apenas uma constante. Portanto, uma segunda solução independente é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das duas soluções independentes
e
:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
Resolva as EDO
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial: