Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
x^2 y' + x y = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. O enunciado é . Para resolver, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares e o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no padrão padrão de equação diferencial linear: . Para isso, dividimos toda a equação por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então podemos escrever:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
O que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados