Equação não Exata;
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que não é exata. O enunciado nos dá duas funções:
e
. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a relação entre
e
que satisfaz essa igualdade. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como usar um fator integrante para torná-las exatas.
Passo 2
Primeiro, é importante saber o que significa uma equação ser exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se existe uma função
tal que
e
. Se isso não acontece, a equação não é exata e precisamos encontrar um fator integrante, que é uma função que, multiplicada pela equação original, a torna exata.
Passo 3
No nosso caso, o enunciado já nos fornece o fator integrante
. Isso é ótimo porque vamos multiplicar toda a equação por esse fator para tentar torná-la exata. Então, multiplicamos
e
por
:
Passo 4
Após a multiplicação, a nova equação se torna exata. Agora, precisamos encontrar a função potencial
tal que suas derivadas parciais correspondam a
e
. Ou seja:
Passo 5
Integrando
em relação a
, encontramos:
Onde
é uma função de
que vai ajustar a igualdade quando derivarmos em relação a
.
Passo 6
Depois de integrar, derivamos a função
em relação a
e igualamos a
obtida ao multiplicar
por
. Isso nos permite encontrar a função
.
Passo 7
Finalmente, juntando tudo, obtemos a função potencial
que satisfaz a equação exata multiplicada pelo fator integrante. A solução geral da equação diferencial é então dada por:
Onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução da equação é
.
Exercícios relacionados
Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
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Equação não Exata;
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Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem: