Equação não Exata; .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que não é exata. O enunciado nos dá duas funções: e . Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a relação entre e que satisfaz essa igualdade. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como usar um fator integrante para torná-las exatas.

Passo 2

Primeiro, é importante saber o que significa uma equação ser exata. Uma equação diferencial da forma é exata se existe uma função tal que e . Se isso não acontece, a equação não é exata e precisamos encontrar um fator integrante, que é uma função que, multiplicada pela equação original, a torna exata.

Passo 3

No nosso caso, o enunciado já nos fornece o fator integrante . Isso é ótimo porque vamos multiplicar toda a equação por esse fator para tentar torná-la exata. Então, multiplicamos e por :

Passo 4

Após a multiplicação, a nova equação se torna exata. Agora, precisamos encontrar a função potencial tal que suas derivadas parciais correspondam a e . Ou seja:

Passo 5

Integrando em relação a , encontramos:
Onde é uma função de que vai ajustar a igualdade quando derivarmos em relação a .

Passo 6

Depois de integrar, derivamos a função em relação a e igualamos a obtida ao multiplicar por . Isso nos permite encontrar a função .

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, obtemos a função potencial que satisfaz a equação exata multiplicada pelo fator integrante. A solução geral da equação diferencial é então dada por:
Onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução da equação é .

Exercícios relacionados

Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
.
Equação não Exata; .
Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem: