Equação não Exata; mu(x) = y^2 ; phi(x, y) = 3 x^2 y^3 + y^4 = C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que não é exata. O enunciado nos dá duas funções: e . Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a relação entre x e y que satisfaz essa igualdade. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como usar um fator integrante para torná-las exatas.

Passo 2

Primeiro, é importante saber o que significa uma equação ser exata. Uma equação diferencial da forma é exata se existe uma função phi(x, y) tal que e . Se isso não acontece, a equação não é exata e precisamos encontrar um fator integrante, que é uma função que, multiplicada pela equação original, a torna exata.

Passo 3

No nosso caso, o enunciado já nos fornece o fator integrante . Isso é ótimo porque vamos multiplicar toda a equação por esse fator para tentar torná-la exata. Então, multiplicamos M e N por mu(x):

Passo 4

Após a multiplicação, a nova equação se torna exata. Agora, precisamos encontrar a função potencial phi(x, y) tal que suas derivadas parciais correspondam a e . Ou seja:

Passo 5

Integrando em relação a x, encontramos:
Onde é uma função de y que vai ajustar a igualdade quando derivarmos em relação a y.

Passo 6

Depois de integrar, derivamos a função phi(x, y) em relação a y e igualamos a obtida ao multiplicar N por mu(x). Isso nos permite encontrar a função .

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, obtemos a função potencial phi(x, y) que satisfaz a equação exata multiplicada pelo fator integrante. A solução geral da equação diferencial é então dada por:
Onde C é uma constante de integração.

Resposta

A solução da equação é .

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