Equação não Exata;
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação diferencial que não é exata. A gente vai trabalhar com isso usando um fator integrador, que nesse caso é
. O conteúdo que vamos precisar é sobre equações diferenciais exatas e como transformar uma equação não exata em exata usando um fator integrador. Vamos precisar também integrar funções parciais para achar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se existe uma função
tal que
. Isso significa que
e
. Quando a equação não é exata, a gente precisa encontrar um fator integrador que, ao multiplicar a equação original, a torne exata.
Passo 3
No nosso caso, o fator integrador é
. Então, vamos multiplicar toda a equação diferencial por esse fator:
Isso dá:
Passo 4
Agora, vamos verificar se a equação mudou para ser exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Calculamos
e
:
Como
, a equação agora é exata.
Passo 5
Agora que a equação é exata, podemos encontrar a função potencial
. Para isso, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função de
que vamos determinar.
Passo 6
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Como
é uma variável, percebemos que na verdade
depende apenas de
, então o correto é:
Então, na verdade,
é uma constante, e nossa função potencial fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Equação não Exata;
.
Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
.