Equação não Exata; mu(x) = x ; phi(x, y) = x^2 + x e^y + y^2/2 = C.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação diferencial que não é exata. A gente vai trabalhar com isso usando um fator integrador, que nesse caso é . O conteúdo que vamos precisar é sobre equações diferenciais exatas e como transformar uma equação não exata em exata usando um fator integrador. Vamos precisar também integrar funções parciais para achar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial da forma é exata se existe uma função tal que . Isso significa que e . Quando a equação não é exata, a gente precisa encontrar um fator integrador que, ao multiplicar a equação original, a torne exata.

Passo 3

No nosso caso, o fator integrador é . Então, vamos multiplicar toda a equação diferencial por esse fator:
Isso dá:

Passo 4

Agora, vamos verificar se a equação mudou para ser exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Calculamos e :
Como , a equação agora é exata.

Passo 5

Agora que a equação é exata, podemos encontrar a função potencial phi(x, y). Para isso, integramos M em relação a x:
Onde é uma função de y que vamos determinar.

Passo 6

Derivamos phi(x, y) em relação a y e igualamos a N:
Integrando ambos os lados em relação a y:
Como x é uma variável, percebemos que na verdade depende apenas de y, então o correto é:
Então, na verdade, é uma constante, e nossa função potencial fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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