Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos dar uma olhada no exercício que temos aqui. A gente precisa encontrar a solução de uma equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais específicas. A equação que vamos resolver é:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos precisar integrar a equação diferencial três vezes, já que ela é de terceira ordem. Cada integração vai nos ajudar a encontrar as derivadas de ordem inferior e, por fim, a função .

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a derivada de terceira ordem na equação:
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a para encontrar a segunda derivada .

Passo 3

Integrando , temos:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 4

Aplicando a condição inicial :
Então, a segunda derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar para encontrar a primeira derivada :
Aqui, é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 6

Aplicando a condição inicial :
Assim, a primeira derivada fica:

Passo 7

Por fim, vamos integrar para encontrar a função :
é a última constante de integração, que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 8

Aplicando a condição inicial :
Então, a solução da equação diferencial é:

Resposta

Exercícios relacionados

Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Equação não Exata; .
Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
.
Explique por que a série é convergente, ou divergente. Se for convergente, calcule a soma da série.