Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
.
Passo 1
Então, temos que resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
Isso significa que queremos encontrar a função
que satisfaz essa equação e que, quando
,
. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, especificamente uma substituição que simplifique a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos definir:
Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Substituindo
e
na equação original, temos:
Agora, podemos simplificar essa equação. Notamos que o termo
aparece nos dois lados e pode ser cancelado:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar
em termos de
.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é uma forma padrão que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
onde
é uma nova constante de integração.
Para facilitar, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 7
Lembrando que
, podemos substituir de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabemos que
, então:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso significa que
(pois
).
Resposta
Portanto, a solução do problema de valor inicial é: