Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
dy/dx = 4 + y/x + (y/x)^2, y(1) = 2.

Passo 1

Então, temos que resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
Isso significa que queremos encontrar a função que satisfaz essa equação e que, quando , . Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, especificamente uma substituição que simplifique a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos definir:
Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 3

Substituindo e na equação original, temos:
Agora, podemos simplificar essa equação. Notamos que o termo aparece nos dois lados e pode ser cancelado:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e :
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar em termos de .

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é uma forma padrão que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
onde é uma nova constante de integração.
Para facilitar, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 7

Lembrando que , podemos substituir de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante :
Sabemos que , então:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso significa que (pois ).

Resposta

Portanto, a solução do problema de valor inicial é:

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