Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y' = 5y

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem:
Isso significa que queremos descobrir todas as funções que satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A forma geral dessa equação é:
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Assim, temos que e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O primeiro passo é calcular o fator integrante ( ) que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação:
O que nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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