Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem:
Isso significa que queremos descobrir todas as funções
que satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A forma geral dessa equação é:
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Assim, temos que
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O primeiro passo é calcular o fator integrante (
) que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação:
O que nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Exercícios relacionados
Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
.
Mostre que a equação
é homogênea e determine a solução geral da equação.
Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
.
Verifique se cada uma das equações é exata e, em caso afirmativo, resolva-a. Caso a equação seja não exata, encontre um fator integrante e determine a solução.
.