Mostre que a equação
é homogênea e determine a solução geral da equação.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
e precisamos mostrar que ela é homogênea. Isso envolve identificar se a equação pode ser simplificada usando uma substituição que torne as variáveis separáveis. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de equações homogêneas e como aplicar substituições apropriadas.
Passo 2
Uma equação diferencial é chamada de homogênea se todas as suas partes podem ser expressas em termos de uma função de
. Para verificar se a equação dada é homogênea, vamos tentar reescrevê-la nessa forma.
Primeiro, observe que
pode ser reescrita usando
, onde
é uma nova função de
. Vamos fazer essa substituição.
Passo 3
Vamos definir
. Então,
. Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 4
Simplificamos a expressão no lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso nos dá uma equação separável, onde podemos separar
e
.
Passo 6
Separando as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
em termos de
.
Passo 7
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Igualando as integrais:
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
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Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
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Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
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Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem: