Mostre que a equação é homogênea e determine a solução geral da equação.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
e precisamos mostrar que ela é homogênea. Isso envolve identificar se a equação pode ser simplificada usando uma substituição que torne as variáveis separáveis. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de equações homogêneas e como aplicar substituições apropriadas.

Passo 2

Uma equação diferencial é chamada de homogênea se todas as suas partes podem ser expressas em termos de uma função de . Para verificar se a equação dada é homogênea, vamos tentar reescrevê-la nessa forma.
Primeiro, observe que pode ser reescrita usando , onde é uma nova função de . Vamos fazer essa substituição.

Passo 3

Vamos definir . Então, . Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Substituindo e na equação original:

Passo 4

Simplificamos a expressão no lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Subtraindo de ambos os lados:
Isso nos dá uma equação separável, onde podemos separar e .

Passo 6

Separando as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar em termos de .

Passo 7

Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Igualando as integrais:

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
.
Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
.
Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
.
Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem: