Verifique se cada uma das equações é exata e, em caso afirmativo, resolva-a. Caso a equação seja não exata, encontre um fator integrante e determine a solução.
.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado pede para verificar se a equação é exata e, se for, resolver. Caso contrário, temos que encontrar um fator integrante para resolver. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação dada:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :

Passo 4

Agora, comparamos as derivadas parciais:
Como elas não são iguais, a equação não é exata.

Passo 5

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de , ou seja, .

Passo 6

Para encontrar , usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, dividimos pelo :

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Então, o fator integrante é .

Passo 8

Multiplicamos a equação original por :

Passo 9

Agora, verificamos se a nova equação é exata calculando as derivadas parciais novamente:
Como as derivadas são iguais, a equação é exata.

Passo 10

Para resolver a equação exata, encontramos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 11

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Integrando em relação a :

Passo 12

Então, a função completa é:

Passo 13

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Portanto:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
.
Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
.
Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
.