Verifique se cada uma das equações é exata e, em caso afirmativo, resolva-a. Caso a equação seja não exata, encontre um fator integrante e determine a solução.
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado pede para verificar se a equação é exata e, se for, resolver. Caso contrário, temos que encontrar um fator integrante para resolver. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação dada:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Passo 4
Agora, comparamos as derivadas parciais:
Como elas não são iguais, a equação não é exata.
Passo 5
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de
, ou seja,
.
Passo 6
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, dividimos pelo
:
Passo 7
Agora, integramos
em relação a
:
Então, o fator integrante é
.
Passo 8
Multiplicamos a equação original por
:
Passo 9
Agora, verificamos se a nova equação é exata calculando as derivadas parciais novamente:
Como as derivadas são iguais, a equação é exata.
Passo 10
Para resolver a equação exata, encontramos uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 11
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Passo 12
Então, a função
completa é:
Passo 13
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Portanto:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
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Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
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Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
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