Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que envolve derivadas de em relação a . O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver. Para isso, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a equação dada:
Notamos que a expressão aparece tanto na exponencial quanto no denominador. Isso sugere que podemos fazer uma troca de variável para simplificar.

Passo 3

Vamos chamar . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Ou seja,

Passo 4

Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Agora temos uma equação separável em termos de e :
Vamos separar as variáveis:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando substituição. Seja , então :
Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação:
Para isolar , tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Então, tiramos a raiz quadrada:
Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
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Verifique se cada uma das equações é exata e, em caso afirmativo, resolva-a. Caso a equação seja não exata, encontre um fator integrante e determine a solução.
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Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
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