Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que envolve derivadas de
em relação a
. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver. Para isso, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a equação dada:
Notamos que a expressão
aparece tanto na exponencial quanto no denominador. Isso sugere que podemos fazer uma troca de variável para simplificar.
Passo 3
Vamos chamar
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Ou seja,
Passo 4
Substituindo
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos uma equação separável em termos de
e
:
Vamos separar as variáveis:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando substituição. Seja
, então
:
Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na equação:
Para isolar
, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Então, tiramos a raiz quadrada:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
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Verifique se cada uma das equações é exata e, em caso afirmativo, resolva-a. Caso a equação seja não exata, encontre um fator integrante e determine a solução.
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Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
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