Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
. Isso pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
Então, vamos dividir todos os termos da equação original por 2 para isolarmos
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a esquerda da equação em uma derivada.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
. Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.
Passo 6
Para resolver
, vamos usar a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Então:
Multiplicando pela constante
:
Passo 7
Agora, temos:
Dividindo ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
.
Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
.
Verifique se cada uma das equações é exata e, em caso afirmativo, resolva-a. Caso a equação seja não exata, encontre um fator integrante e determine a solução.
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Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
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