Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem: . Isso pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
Então, vamos dividir todos os termos da equação original por 2 para isolarmos :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, , é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a esquerda da equação em uma derivada.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente . Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.

Passo 6

Para resolver , vamos usar a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Então:
Multiplicando pela constante :

Passo 7

Agora, temos:
Dividindo ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
.
Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
.
Verifique se cada uma das equações é exata e, em caso afirmativo, resolva-a. Caso a equação seja não exata, encontre um fator integrante e determine a solução.
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Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
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