Verifique se cada uma das equações é exata e, em caso afirmativo, resolva-a. Caso a equação seja não exata, encontre um fator integrante e determine a solução.
2(x y^3 - 1/x^3) dx + (3 x^2 y^2 - 1/y^2) dy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e a missão é verificar se ela é exata. Se for, a gente resolve direto. Se não for, a gente encontra um fator integrante pra fazer ela ficar exata e então resolve. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e da nossa equação:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente calcula as derivadas parciais:

Passo 4

Como , a equação é exata! Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 5

Vamos encontrar integrando em relação a :

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :

Passo 7

Então, a função potencial completa é:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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