Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
partial^2 upartial t^2=c^2 partial^2 upartial x^2 ; u(x, t)=sen(x-c t).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma equação diferencial que envolve derivadas parciais e uma função dada. Nosso objetivo é verificar duas coisas:
  1. Tipo da equação diferencial: Saber se ela é ordinária ou parcial.
  2. Solução da equação: Verificar se a função realmente satisfaz a equação apresentada.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais ordinárias (EDO) e parciais (EDP), além de saber como substituir funções nessas equações para testar se são soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação diferencial que temos:
partial^2 upartial t^2 = c^2 partial^2 upartial x^2
Essa equação envolve derivadas parciais de segunda ordem em relação às variáveis e . Quando uma equação diferencial envolve derivadas parciais de uma função com mais de uma variável independente, ela é classificada como uma Equação Diferencial Parcial (EDP). Se fosse apenas uma variável independente, seria uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).
Portanto, a equação dada é uma Equação Diferencial Parcial.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é uma solução dessa equação. Para isso, vamos substituir partial upartial t = partialpartial t sen(x - ct) = -c cos(x - ct) na equação e ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
  1. Primeira derivada em relação a partial^2 upartial t^2 = partialpartial t ( -c cos(x - ct) ) = -c cdot (-c) sen(x - ct) = c^2 sen(x - ct) :
  1. Segunda derivada em relação a partial upartial x = partialpartial x sen(x - ct) = cos(x - ct) :
  1. Primeira derivada em relação a partial^2 upartial x^2 = partialpartial x cos(x - ct) = -sen(x - ct) :
  1. Segunda derivada em relação a partial^2 upartial t^2 = c^2 partial^2 upartial x^2 Rightarrow c^2 sen(x - ct) = c^2 (-sen(x - ct)) :
Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
Simplificando:
Isso só é possível se , o que não é geralmente verdadeiro para c^2 sen(x - ct) = -c^2 sen(x - ct) e . Portanto, a igualdade não se mantém.

Resposta

A equação diferencial dada é uma Equação Diferencial Parcial e a função não é uma solução dessa equação.

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