Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma equação diferencial que envolve derivadas parciais e uma função dada. Nosso objetivo é verificar duas coisas:
- Tipo da equação diferencial: Saber se ela é ordinária ou parcial.
- Solução da equação: Verificar se a função realmente satisfaz a equação apresentada.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais ordinárias (EDO) e parciais (EDP), além de saber como substituir funções nessas equações para testar se são soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação diferencial que temos:
Essa equação envolve derivadas parciais de segunda ordem em relação às variáveis
e
. Quando uma equação diferencial envolve derivadas parciais de uma função com mais de uma variável independente, ela é classificada como uma Equação Diferencial Parcial (EDP). Se fosse apenas uma variável independente, seria uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).
Portanto, a equação dada é uma Equação Diferencial Parcial.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é uma solução dessa equação. Para isso, vamos substituir
na equação e ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
- Primeira derivada em relação a
:
- Segunda derivada em relação a
:
- Primeira derivada em relação a
:
- Segunda derivada em relação a
:
Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
Simplificando:
Isso só é possível se , o que não é geralmente verdadeiro para
e . Portanto, a igualdade não se mantém.
Resposta
A equação diferencial dada é uma Equação Diferencial Parcial e a função não é uma solução dessa equação.
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
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Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
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Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
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Verifique se cada uma das equações é exata e, em caso afirmativo, resolva-a. Caso a equação seja não exata, encontre um fator integrante e determine a solução.
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