Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação diferencial que temos aqui:
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e não linear, conhecida como equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica específica para esse tipo de equação, que envolve uma substituição que transforma a equação não linear em uma linear.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação em uma forma mais padrão. A equação de Bernoulli tem a forma
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
O próximo passo é fazer a substituição
. Como
, temos
. Agora, precisamos encontrar
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
da equação original na expressão que encontramos para
. Da equação original:
Substituindo na expressão de
:
Mas lembre-se que
, então
. Substituindo:
Rearranjando:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear em
. Para resolver, vamos achar o fator integrante. A equação está na forma
, onde
e
.
O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Lembrando que
, então:
Tomando o inverso:
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
.
Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
.
Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
.
Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
.