Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
d y/d x + 2/x y = y^3/x^3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação diferencial que temos aqui: . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e não linear, conhecida como equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica específica para esse tipo de equação, que envolve uma substituição que transforma a equação não linear em uma linear.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação em uma forma mais padrão. A equação de Bernoulli tem a forma . No nosso caso, , e .

Passo 3

O próximo passo é fazer a substituição . Como , temos . Agora, precisamos encontrar . Diferenciando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Vamos substituir da equação original na expressão que encontramos para . Da equação original:
Substituindo na expressão de :
Mas lembre-se que , então . Substituindo:
Rearranjando:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear em . Para resolver, vamos achar o fator integrante. A equação está na forma , onde e .
O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Lembrando que , então:
Tomando o inverso:
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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