Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral para .

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. A forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante . Esse fator é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Isso simplifica a resolução, pois agora precisamos integrar ambos os lados para encontrar .

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente:

Passo 7

Vamos resolver as integrais do lado direito uma por uma.
Primeiro, para , usamos integração por partes:
Escolhemos:
Aplicando integração por partes:
Agora, a segunda integral:

Passo 8

Juntando tudo:
Agora, isolamos dividindo todos os termos por :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
.
Verifique se cada uma das equações é exata e, em caso afirmativo, resolva-a. Caso a equação seja não exata, encontre um fator integrante e determine a solução.
.
Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
Equação não Exata; .