Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral para
.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. A forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
. Esse fator é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Isso simplifica a resolução, pois agora precisamos integrar ambos os lados para encontrar
.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente:
Passo 7
Vamos resolver as integrais do lado direito uma por uma.
Primeiro, para
, usamos integração por partes:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando integração por partes:
Agora, a segunda integral:
Passo 8
Juntando tudo:
Agora, isolamos
dividindo todos os termos por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
.
Verifique se cada uma das equações é exata e, em caso afirmativo, resolva-a. Caso a equação seja não exata, encontre um fator integrante e determine a solução.
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Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
Equação não Exata;
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