Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
Passo 1
Beleza, o enunciado nos dá a equação diferencial
e pede pra resolver usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar, se der, fazer uma mudança de variável pra facilitar essa separação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar essa equação fazendo uma troca de variável. Vamos definir
. Essa substituição vai nos ajudar a separar as variáveis depois.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Se
, então:
Como
, substituímos na equação:
Passo 4
A equação
é mais fácil de resolver. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 5
Agora, vamos integrar os dois lados da equação:
A integral de
é
, então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
.
Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
.
Equação não Exata;
.
Equação não Exata;
.