Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá a equação diferencial e pede pra resolver usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar, se der, fazer uma mudança de variável pra facilitar essa separação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa equação fazendo uma troca de variável. Vamos definir . Essa substituição vai nos ajudar a separar as variáveis depois.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Se , então:
Como , substituímos na equação:

Passo 4

A equação é mais fácil de resolver. Vamos separar as variáveis e :

Passo 5

Agora, vamos integrar os dois lados da equação:
A integral de é , então temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
.
Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
.
Equação não Exata; .
Equação não Exata; .