Beleza, vamos resolver o sistema de equações diferenciais dado por:
Esse tipo de sistema envolve matrizes e temas como autovalores e autovetores. Para encontrar a solução geral, vamos precisar calcular os autovalores da matriz, encontrar os autovetores correspondentes e montar a solução usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade. Vamos calcular:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Fatorando :
Então, os autovalores são e .
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Simplificando as equações:
→
→
→
Escolhemos , então . O autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Simplificando as equações:
→ →
→
Substituindo e na terceira equação:
Isso confirma a consistência. Escolhemos , então e . O autovetor é:
Passo 4
Agora, temos os autovalores e autovetores necessários para montar a solução geral. A solução de um sistema linear como esse pode ser expressa como combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.