Ache a solução geral do sistema dado.
X' = (5 -4 0; 1 0 2; 0 2 5) X

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações diferenciais dado por:
Esse tipo de sistema envolve matrizes e temas como autovalores e autovetores. Para encontrar a solução geral, vamos precisar calcular os autovalores da matriz, encontrar os autovetores correspondentes e montar a solução usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade. Vamos calcular:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Fatorando :
Então, os autovalores são e .

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Simplificando as equações:
Escolhemos , então . O autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Simplificando as equações:
Substituindo e na terceira equação:
Isso confirma a consistência. Escolhemos , então e . O autovetor é:

Passo 4

Agora, temos os autovalores e autovetores necessários para montar a solução geral. A solução de um sistema linear como esse pode ser expressa como combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando :

Resposta

A solução geral do sistema é dada por
onde e são constantes arbitrárias.

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