Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, para F(x, y, z)=(x y, 2 z, 3 y), C é a curva de interseção do plano x+z=5 e do cilindro x^2+z^2=9. A curva C está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Precisamos calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva , que é a interseção do plano com o cilindro . A curva tá orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com uma integral de superfície usando o rotacional do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial nabla times F = ( partial (3y)partial y - partial (2z)partial z, partial (xy)partial z - partial (3y)partial x, partial (2z)partial x - partial (xy)partial y ) , que é nabla times F = (3 - 2, 0 - 0, 0 - x) = (1, 0, -x) . O rotacional nos ajuda a entender como o campo gira ao redor de um ponto.
Dado , o rotacional é:
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma superfície limitada pela curva . Como é a interseção do plano com o cilindro , vamos escolher a parte do plano que está dentro do cilindro como nossa superfície.
A normal ao plano é o vetor . Para aplicar o Teorema de Stokes corretamente, precisamos que a orientação da normal seja compatível com a orientação da curva . Como está orientada no sentido anti-horário visto de cima, a normal deve apontar na direção positiva do eixo , mas como nosso plano não depende de , vamos seguir com .

Passo 4

Vamos calcular a integral de superfície n = (1, 0, 1)raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ) .
Primeiro, normalizamos o vetor normal:
(1, 0, -x) cdot ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ) = 1raiz2 + -xraiz2 = 1 - xraiz2
Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 5

Vamos agora determinar os limites de integração para a superfície x^2 + (5 - x)^2 = 9 2x^2 - 10x + 25 = 9 2x^2 - 10x + 16 = 0 x^2 - 5x + 8 = 0 . A curva é a interseção do plano com o cilindro . Substituindo na equação do cilindro:
O discriminante dessa equação é , que é negativo. Isso significa que não há interseção real entre o plano e o cilindro, ou seja, a curva não existe no espaço real.

Resposta

Como a curva não existe (não há interseção real entre o plano e o cilindro ), a integral de linha é igual a zero.

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