Use o Teorema de Stokes para calcular
, para
é a curva de interseção do plano
e do cilindro
. A curva
está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Precisamos calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
, que é a interseção do plano
com o cilindro
. A curva
tá orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com uma integral de superfície usando o rotacional do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial
, que é
. O rotacional nos ajuda a entender como o campo gira ao redor de um ponto.
Dado
, o rotacional é:
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma superfície
limitada pela curva
. Como
é a interseção do plano
com o cilindro
, vamos escolher a parte do plano
que está dentro do cilindro como nossa superfície.
A normal ao plano
é o vetor
. Para aplicar o Teorema de Stokes corretamente, precisamos que a orientação da normal seja compatível com a orientação da curva
. Como
está orientada no sentido anti-horário visto de cima, a normal deve apontar na direção positiva do eixo
, mas como nosso plano não depende de
, vamos seguir com
.
Passo 4
Vamos calcular a integral de superfície
.
Primeiro, normalizamos o vetor normal:
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 5
Vamos agora determinar os limites de integração para a superfície
. A curva
é a interseção do plano
com o cilindro
. Substituindo
na equação do cilindro:
O discriminante dessa equação é
, que é negativo. Isso significa que não há interseção real entre o plano e o cilindro, ou seja, a curva
não existe no espaço real.
Resposta
Como a curva
não existe (não há interseção real entre o plano
e o cilindro
), a integral de linha
é igual a zero.