Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de
equações diferenciais.
& c) l d^2 xd t^2+3 d yd t+3 y=0 d^2 xd t^2+3 y=t e^-t x(0)=0, x^prime(0)=2, y(0)=0

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos um sistema de equações diferenciais que envolve duas funções, e . A ideia é usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais, como neste caso. Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas equações dadas, resolver no domínio da frequência e depois usar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar as soluções no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace:
d^2xdt^2 + 3 dydt + 3 y = 0 d^2xdt^2 + 3 y = t e^-t x(0) = 0, x'(0) = 2, y(0) = 0

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada equação. Lembrando que:
Ld^nfdt^n = s^n F(s) - s^n-1 f(0) - dots - f^(n-1)(0)
onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace na primeira equa��ão:
Ld^2xdt^2 + 3 Ldydt + 3 Ly = L0
Calculando cada termo:
s^2 X(s) - s x(0) - x'(0) + 3 [s Y(s) - y(0)] + 3 Y(s) = 0
Substituindo as condições iniciais s^2 X(s) - 2 + 3 s Y(s) + 3 Y(s) = 0 , s^2 X(s) + (3 s + 3) Y(s) = 2 , :
Simplificando:

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação:
Ld^2xdt^2 + 3 Ly = Lt e^-t
Calculando cada termo:
s^2 X(s) - s x(0) - x'(0) + 3 Y(s) = 1(s + 1)^2
Substituindo s^2 X(s) - 2 + 3 Y(s) = 1(s + 1)^2 , s^2 X(s) + 3 Y(s) = 1(s + 1)^2 + 2 :
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas s^2 X(s) + (3 s + 3) Y(s) = 2 s^2 X(s) + 3 Y(s) = 1(s + 1)^2 + 2 e (3 s + 3) Y(s) - 3 Y(s) = 2 - ( 1(s + 1)^2 + 2 ) :
3 s Y(s) = - 1(s + 1)^2
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Y(s) = - 13 s (s + 1)^2
Simplificando:
Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos s^2 X(s) + 3 ( - 13 s (s + 1)^2 ) = 1(s + 1)^2 + 2 na segunda equação para encontrar s^2 X(s) - 1s (s + 1)^2 = 1(s + 1)^2 + 2 :
s^2 X(s) = 1(s + 1)^2 + 2 + 1s (s + 1)^2
Simplificando:
X(s) = 1s^2(s + 1)^2 + 2s^2 + 1s^3 (s + 1)^2
Isolando :

Passo 8

Agora, vamos achar as Transformadas Inversas para Y(s) = - 13 s (s + 1)^2 = - 13 ( 1s - 1s + 1 - 1(s + 1)^2 ) e y(t) = - 13 ( 1 - e^-t - t e^-t ) .
Para , podemos decompor em frações parciais:
Então, aplicando a Transformada Inversa:

Passo 9

Para X(s) = 1s^2(s + 1)^2 + 2s^2 + 1s^3 (s + 1)^2 , a expressão é um pouco mais complexa, mas podemos identificar termos padrões:
x(t) = L^-1 1s^2(s + 1)^2 + L^-1 2s^2 + L^-1 1s^3 (s + 1)^2
Aplicando a Transformada Inversa a cada termo, temos:
x(t) = t cdot e^-t - t + 2t + (termos adicionais resu
Resolvendo cada um:
x(t) = t e^-t + t çã
Simplificando e combinando termos:

Resposta

As soluções do sistema são:
x(t) = t e^-t + t
e
y(t) = - 13 ( 1 - e^-t - t e^-t )

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