sumn=1^infty 5n(n+1) e sumn=0^infty 5(n+1)(n+2)
Escreva-a como uma soma começando com (a) n=-1, (b) n=3, © n=20.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas somas infinitas que queremos reescrever começando com diferentes valores de . O conteúdo que vamos usar aqui é o de reindexação de séries. Basicamente, vamos mudar o índice inicial da soma sem alterar o valor total. Para isso, precisamos ajustar os termos da série de acordo com o novo índice.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira série:
sumn=1^infty 5n(n+1)
Queremos reescrever essa soma começando com , e .

Passo 3

(a) Reescrevendo a soma começando com sumn=-1^infty 5(k-2)(k-1) onde k = n + 2

Para mudar o índice de sumk=1^infty 5(k-2)(k-1) para , vamos fazer uma substituição. Vamos definir um novo índice . Assim, quando , .
Substituindo na soma:
Portanto, a soma fica:

Passo 4

(b) Reescrevendo a soma começando com sumn=3^infty 5(k+2)(k+3) onde k = n - 2

Agora, queremos que a soma comece em sumk=1^infty 5(k+2)(k+3) . Vamos novamente fazer uma substituição. Definimos . Quando , .
Substituindo na soma:
Assim, a soma fica:

Passo 5

© Reescrevendo a soma começando com sumn=20^infty 5(k+19)(k+20) onde k = n - 19

Finalmente, queremos que a soma comece em sumk=1^infty 5(k+19)(k+20) . Vamos definir . Quando , .
Substituindo na soma:
Portanto, a soma fica:

Resposta

Reescrevendo a soma sumn=-1^infty 5(k-2)(k-1) começando com:
  • (a) sumk=1^infty 5(k+2)(k+3) : sumk=1^infty 5(k+19)(k+20)
  • (b) :
  • © :

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