Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A gente vai usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares para equações diferenciais não homogêneas. Para resolver, vamos precisar:
- Entender como resolver sistemas lineares de equações diferenciais.
- Encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado.
- Encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo.
- Aplicar a condição inicial para determinar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado, ou seja, quando a parte constante
é zero:
Para resolver isso, encontramos os autovalores (
) da matriz dos coeficientes. Fazemos isso resolvendo o determinante:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Escolhendo
, temos
. Então, o autovetor é
.
Para
:
Escolhendo
, temos
. Então, o autovetor é
.
Portanto, a solução geral do sistema homogêneo é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para o sistema não homogêneo:
Como o termo não homogêneo é constante (
), assumimos que a solução particular também é constante:
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Isso resulta em:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral do sistema não homogêneo é a soma da solução geral do homogêneo com a solução particular:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Isso nos dá o sistema:
Simplificando:
Somando as duas equações para eliminar
:
Substituindo
na segunda equação:
Resposta
A solução do sistema é: