Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em (-infty,+infty)
& d) X^prime=(rr -1 & -2 3 & 4 ) X+binom33, X(0)=binom-45

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A gente vai usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares para equações diferenciais não homogêneas. Para resolver, vamos precisar:
  • Entender como resolver sistemas lineares de equações diferenciais.
  • Encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado.
  • Encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo.
  • Aplicar a condição inicial para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado, ou seja, quando a parte constante X' = -1 & -2 3 & 4 X é zero:
det( -1-lambda & -2 3 & 4-lambda ) = 0
Para resolver isso, encontramos os autovalores ( (-1 - lambda)(4 - lambda) - (-2)(3) = 0 (-1)(4 - lambda) - lambda(4 - lambda) + 6 = 0 -4 + lambda - 4lambda + lambda^2 + 6 = 0 lambda^2 - 3lambda + 2 = 0 ) da matriz dos coeficientes. Fazemos isso resolvendo o determinante:
lambda = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12 lambda1 = 2, lambda2 = 1
Calculando o determinante:
-3 & -2 3 & 2 v1 v2 = 0 -3v1 - 2v2 = 0 Rightarrow v1 = -23v2
Resolvendo a equação quadrática:
-2 3
Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada -2 & -2 3 & 3 v1 v2 = 0 -2v1 - 2v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2 .
Para -1 1 :
Xh(t) = C1 e^2t -2 3 + C2 e^t -1 1
Escolhendo , temos . Então, o autovetor é .
Para :
Escolhendo , temos . Então, o autovetor é .
Portanto, a solução geral do sistema homogêneo é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( X' = -1 & -2 3 & 4 X + 3 3 ) para o sistema não homogêneo:
3 3
Como o termo não homogêneo é constante ( Xp = A B ), assumimos que a solução particular também é constante:
Xp' = 0 0
Derivando 0 0 = -1 & -2 3 & 4 A B + 3 3 :
- A - 2B + 3 = 0 3A + 4B + 3 = 0
Substituindo na equação original:
- A - 2B = -3 Rightarrow A = -2B + 3
Isso resulta em:
3(-2B + 3) + 4B + 3 = 0 -6B + 9 + 4B + 3 = 0 -2B + 12 = 0 Rightarrow B = 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Xp = -9 6
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral do sistema não homogêneo é a soma da solução geral do homogêneo com a solução particular:
X(t) = Xh(t) + Xp = C1 e^2t -2 3 + C2 e^t -1 1 + -9 6
Agora, aplicamos a condição inicial -4 5 :
X(0) = C1 -2 3 + C2 -1 1 + -9 6 = -4 5
Isso nos dá o sistema:
-2C1 - C2 - 9 = -4 3C1 + C2 + 6 = 5
Simplificando:
-2C1 - C2 = 5 3C1 + C2 = -1
Somando as duas equações para eliminar ( -2C1 - C2 ) + ( 3C1 + C2 ) = 5 + (-1) C1 = 4 :
3(4) + C2 = -1 Rightarrow 12 + C2 = -1 Rightarrow C2 = -13
Substituindo na segunda equação:

Resposta

A solução do sistema é:
X(t) = 4 e^2t -2 3 - 13 e^t -1 1 + -9 6

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