Ache a solução geral do sistema dado.
& c) X^prime=(rr 12 & 0 1 & -12 ) X, X(0)=binom35

Passo 1

Beleza! A gente tem um sistema de equações diferenciais dado por:
X^prime=(rr 12 & 0 1 & -12 ) X, X(0)=binom35
Vamos resolver esse sistema encontrando a solução geral usando conceitos de autovalores e autovetores das matrizes. Para isso, vamos precisar calcular os autovalores da matriz, encontrar os autovetores correspondentes e montar a solução com base nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz rr 12 & 0 1 & -12 .
Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde det(rr 12 - lambda & 0 1 & -12 - lambda ) = (12 - lambda)(-12 - lambda) - 0 cdot 1 = 0 é a matriz identidade e (12 - lambda)(-12 - lambda) = 0 representa os autovalores.
Calculando:
lambda1 = 12 e lambda2 = -12
Simplificando:
Portanto, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para (rr 12 - 12 & 0 1 & -12 - 12 ) binomv1v2 = (rr 0 & 0 1 & -1 ) binomv1v2 = binom00 :
Resolvemos v1 = binom11 :
(rr 12 + 12 & 0 1 & -12 + 12 ) binomv1v2 = (rr 1 & 0 1 & 0 ) binomv1v2 = binom00
Das equações:
  1. v2 = binom01 (redundante)
Escolhemos , então . O autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Das equações:
Então, e é livre. Escolhemos . O autovetor é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral para sistemas lineares com autovalores distintos é dada por:
X(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Onde X(t) = c1 e^12 t binom11 + c2 e^-12 t binom01 e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial binom35 = c1 e^0 binom11 + c2 e^0 binom01 = c1 binom11 + c2 binom01 para encontrar os valores de binom35 = binomc1c1 + binom0c2 = binomc1c1 + c2 e 3 + c2 = 5 Rightarrow c2 = 2 .
Substituindo na solução geral:
Simplificando:
Assim, temos o sistema de equações:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = 3 e^12 t binom11 + 2 e^-12 t binom01

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