Ache a solução geral do sistema dado.

Passo 1

Beleza! A gente tem um sistema de equações diferenciais dado por:
Vamos resolver esse sistema encontrando a solução geral usando conceitos de autovalores e autovetores das matrizes. Para isso, vamos precisar calcular os autovalores da matriz, encontrar os autovetores correspondentes e montar a solução com base nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz .
Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Calculando:
Simplificando:
Portanto, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Das equações:
  1. (redundante)
Escolhemos , então . O autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Das equações:
Então, e é livre. Escolhemos . O autovetor é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral para sistemas lineares com autovalores distintos é dada por:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar os valores de e .
Substituindo na solução geral:
Simplificando:
Assim, temos o sistema de equações:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:

Resposta

A solução geral do sistema é:

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