Ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Beleza! A gente tem um sistema de equações diferenciais dado por:
Vamos resolver esse sistema encontrando a solução geral usando conceitos de autovalores e autovetores das matrizes. Para isso, vamos precisar calcular os autovalores da matriz, encontrar os autovetores correspondentes e montar a solução com base nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
.
Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Calculando:
Simplificando:
Portanto, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Das equações:
-
(redundante) -
Escolhemos
, então
. O autovetor é:
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Das equações:
Então,
e
é livre. Escolhemos
. O autovetor é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral para sistemas lineares com autovalores distintos é dada por:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar os valores de
e
.
Substituindo
na solução geral:
Simplificando:
Assim, temos o sistema de equações:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Resposta
A solução geral do sistema é:
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