Analise a convergência (ou não) das séries a seguir: sumn=1^infty 4 n^3-4 n+53 n^5-8

Passo 1

Vamos analisar se a série sumn=1^infty 4 n^3-4 n+53 n^5-8 converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série dada com uma série mais simples que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, observamos os termos da série: 4 n^3-4 n+53 n^5-8. Quando fica muito grande, os termos com maiores potências de dominam. Então, vamos simplificar olhando apenas para os termos principais do numerador e do denominador.

Passo 3

No numerador, o termo de maior grau é 4n^33n^5 = 43n^2 e no denominador é . Assim, podemos aproximar a fração por:

Passo 4

Agora, comparamos nossa série original com a série comparativa . Sabemos que a série converge para . No nosso caso, , então a série comparativa converge.

Passo 5

Como os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos da série comparativa para suficientemente grande, e a série comparativa converge, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 4 n^3-4 n+53 n^5-8 converge.

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