The curve with equation y^2 = 5*x^4 - x^2 is called a kampyle of Eudoxus. Find an equation of the tangent line to this curve at the point 1,2

Passo 1

Então, a gente tem uma curva definida pela equação e precisa encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto . Vamos resolver isso usando cálculo, especificamente diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada de em relação a mesmo quando não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está na curva. Substituindo e na equação:
Tudo certo, o ponto está na curva!

Passo 3

Agora, vamos fazer a diferenciação implícita da equação da curva para encontrar a derivada , que nos dará o coeficiente angular da reta tangente.
A equação é:
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Usando a regra da cadeia para a derivada de :

Passo 4

Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos substituir e na expressão da derivada para encontrar o coeficiente angular da tangente no ponto dado:

Passo 6

Com o coeficiente angular e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:

Passo 7

Simplificando para a forma geral da equação da reta:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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