The curve with equation is called a kampyle of Eudoxus. Find an equation of the tangent line to this curve at the point
Passo 1
Então, a gente tem uma curva definida pela equação e precisa encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto . Vamos resolver isso usando cálculo, especificamente diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada de em relação a mesmo quando não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está na curva. Substituindo e na equação:
Tudo certo, o ponto está na curva!
Passo 3
Agora, vamos fazer a diferenciação implícita da equação da curva para encontrar a derivada , que nos dará o coeficiente angular da reta tangente.
A equação é:
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Usando a regra da cadeia para a derivada de :
Passo 4
Agora, isolamos :
Passo 5
Vamos substituir e na expressão da derivada para encontrar o coeficiente angular da tangente no ponto dado:
Passo 6
Com o coeficiente angular e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Passo 7
Simplificando para a forma geral da equação da reta: