Ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais do tipo
, onde
é a matriz
e a condição inicial é
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Isso é feito resolvendo a equação característica
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculamos o determinante:
Passo 4
Expandindo a expressão:
Então:
Resolvendo
:
Portanto, temos um autovalor duplo:
.
Passo 5
Com o autovalor
, vamos encontrar os autovetores associados. Precisamos resolver
:
Isso resulta no sistema:
Ambas as equações são equivalentes, então podemos escolher
. Escolhendo
, temos o autovetor
.
Passo 6
Como o autovalor é repetido e temos apenas um autovetor, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Resolvemos
:
Isso dá o sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Escolhemos
, então
→
. Assim, o autovetor generalizado é
.
Passo 7
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema. Como temos um autovalor duplo com um autovetor e um autovetor generalizado, a solução é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pela condição inicial.
Passo 8
Aplicando a condição inicial
:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos
e
→
→
.
Resposta
A solução geral do sistema é: