Ache a solução geral do sistema dado.
X' = (2 4; -1 6) X, X(0) = (-1; 6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais do tipo , onde é a matriz e a condição inicial é . Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Isso é feito resolvendo a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculamos o determinante:

Passo 4

Expandindo a expressão:
Então:
Resolvendo :
Portanto, temos um autovalor duplo: .

Passo 5

Com o autovalor , vamos encontrar os autovetores associados. Precisamos resolver :
Isso resulta no sistema:
Ambas as equações são equivalentes, então podemos escolher . Escolhendo , temos o autovetor .

Passo 6

Como o autovalor é repetido e temos apenas um autovetor, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Resolvemos :
Isso dá o sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Escolhemos , então . Assim, o autovetor generalizado é .

Passo 7

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema. Como temos um autovalor duplo com um autovetor e um autovetor generalizado, a solução é:
Onde e são constantes que serão determinadas pela condição inicial.

Passo 8

Aplicando a condição inicial :
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos e .

Resposta

A solução geral do sistema é:

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