Determine o limite lim (x, y) (0,0) e^x^2+y^2-1y, se existir, ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o limite . Isso envolve cálculo multivariável, onde analisamos como a função se comporta quando e se aproximam de zero. Para resolver, vamos verificar diferentes caminhos pelos quais pode chegar a e ver se o limite é o mesmo em todos esses caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar um caminho simples: manter e^x^2+0-10 = e^x^2 - 10 enquanto se aproxima de 0. Substituindo na expressão, temos:
Aqui, a gente está dividindo algo que está perto de zero por zero, o que resulta em uma expressão indefinida. Isso nos mostra que precisamos analisar outros caminhos para entender melhor o comportamento do limite.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho: deixar e^x^2+(kx)^2 - 1kx = e^(1 + k^2)x^2 - 1kx depender de 1 + (1 + k^2)x^2 - 1kx = (1 + k^2)x^2kx = 1 + k^2k x , por exemplo, , onde é uma constante qualquer. Substituindo na expressão original:
Para valores pequenos de , podemos usar a aproximação . Então:
À medida que se aproxima de 0, essa expressão tende a 0. Portanto, ao longo de qualquer linha reta que passa pela origem, o limite é 0.

Passo 4

Para verificar se o limite é único, precisamos ver se ele é o mesmo em todos os caminhos possíveis. Vamos tentar um caminho diferente, como uma curva: por exemplo, e^x^2+x^4 - 1x^2 approx 1 + x^2 + x^4 - 1x^2 = x^2 + x^4x^2 = 1 + x^2 . Substituindo na expressão original:
Quando se aproxima de 0, essa expressão tende a 1.

Passo 5

Observamos que ao longo da linha reta , o limite foi 0, enquanto ao longo da curva , o limite foi 1. Como estamos obtendo resultados diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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