Determine o limite
, se existir, ou mostre que esse limite não existe.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o limite
. Isso envolve cálculo multivariável, onde analisamos como a função se comporta quando
e
se aproximam de zero. Para resolver, vamos verificar diferentes caminhos pelos quais
pode chegar a
e ver se o limite é o mesmo em todos esses caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar um caminho simples: manter
enquanto
se aproxima de 0. Substituindo
na expressão, temos:
Aqui, a gente está dividindo algo que está perto de zero por zero, o que resulta em uma expressão indefinida. Isso nos mostra que precisamos analisar outros caminhos para entender melhor o comportamento do limite.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho: deixar
depender de
, por exemplo,
, onde
é uma constante qualquer. Substituindo na expressão original:
Para valores pequenos de
, podemos usar a aproximação
. Então:
À medida que
se aproxima de 0, essa expressão tende a 0. Portanto, ao longo de qualquer linha reta que passa pela origem, o limite é 0.
Passo 4
Para verificar se o limite é único, precisamos ver se ele é o mesmo em todos os caminhos possíveis. Vamos tentar um caminho diferente, como uma curva: por exemplo,
. Substituindo na expressão original:
Quando
se aproxima de 0, essa expressão tende a 1.
Passo 5
Observamos que ao longo da linha reta
, o limite foi 0, enquanto ao longo da curva
, o limite foi 1. Como estamos obtendo resultados diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não é único.
Resposta
O limite não existe.