Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
a) { dx/dt = 3x - 3y + 4, dy/dt = 2x - 2y - 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a variação de parâmetros. O enunciado nos dá um sistema com duas equações:
Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais, encontrar a solução homogênea e depois uma solução particular usando a variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso facilita o trabalho com equações diferenciais:
Aqui, temos uma matriz de coeficientes e um termo constante. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado, ou seja, quando o termo constante é zero:
Para resolver isso, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz de coeficientes. Calculamos o determinante de :
Resolvendo:
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Agora, para cada autovalor, encontramos o vetor próprio correspondente.
Para :
Isso nos dá as equações:
Simplificando, temos . Então, podemos escolher .
Para :
Isso nos dá:
Daqui, , então .

Passo 5

Com os autovalores e vetores próprios, escrevemos a solução geral do sistema homogêneo:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo usando a variação de parâmetros. Procuramos uma solução da forma:
Substituindo na equação original:
Isso leva ao sistema:

Passo 7

Para simplificar, assumimos que e satisfazem a relação das equações homogêneas. Então, resolvemos:
Integrando:
Onde e são constantes de integração. Porém, para simplificar, podemos considerar apenas as partes particulares:

Passo 8

Então, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a particular:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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