Ache a solução geral do sistema dado.
X' = [[2, 5, 1], [-5, -6, 4], [0, 0, 2]] X

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que envolve matrizes. Nosso objetivo é achar a solução geral do sistema dado por , onde é a matriz fornecida. Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são números que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
A matriz é:
Como é uma matriz triangular (os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são os próprios elementos da diagonal. Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com .
Para :
Resolvendo , obtemos o autovetor correspondente. Simplificando as equações, encontramos que um autovetor associado a é:
Agora, para :
Resolvendo , encontramos o autovetor correspondente:
E para novamente, já temos . Se a multiplicidade for maior que a dimensão dos autovetores, precisaríamos de vetores generalizados, mas neste caso, já temos o suficiente para formar a solução geral.

Passo 4

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos construir a solução geral do sistema. A solução geral é uma combinação linear dos autovetores multiplicados por funções exponenciais dos autovalores.
Então, a solução geral é:
Onde são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema ��:
Onde são constantes arbitrárias.

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