Ache a solução geral do sistema dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! A gente tem um sistema linear de duas equações com uma matriz de coeficientes e uma condição inicial específica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, além de saber como montar a solução geral de um sistema linear. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara. Temos:
Aqui, é um vetor coluna com duas funções, e é a derivada de em relação ao tempo.

Passo 3

Para resolver o sistema, vamos começar encontrando os autovalores da matriz dos coeficientes:
Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade.

Passo 4

Calculemos o determinante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Substituímos na equação :
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, . Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 7

Para :
Substituímos na equação :
Isso nos dá as equações:
Então, e é livre. Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 8

Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores:

Passo 9

Agora, precisamos determinar as constantes e usando a condição inicial .
Substituindo :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos .

Resposta

A solução geral do sistema é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes derivadas:
Um bote motorizado e seu tripulante têm uma massa de 120 quilogramas e estava inicialmente no repouso. O motor exerce uma força constante de 10 newtons, na direção do movimento. A resistência exercida pela água, ao movimento, é, em módulo, igual ao dobro da velocidade.
a. Determine a velocidade do bote em função do tempo.
b. Determine a velocidade limite do bote.
c. Faça um esboço do gráfico da velocidade em função do tempo.
Calcule a integral indefinida.
Calcule as seguintes derivadas: