Ache a solução geral do sistema dado.
X' = (1/2 0; 1 -1/2) X, X(0) = (3, 5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! A gente tem um sistema linear de duas equações com uma matriz de coeficientes e uma condição inicial específica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, além de saber como montar a solução geral de um sistema linear. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara. Temos:
Aqui, é um vetor coluna com duas funções, e é a derivada de em relação ao tempo.

Passo 3

Para resolver o sistema, vamos começar encontrando os autovalores da matriz dos coeficientes:
Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade.

Passo 4

Calculemos o determinante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Substituímos na equação :
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, . Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 7

Para :
Substituímos na equação :
Isso nos dá as equações:
Então, e é livre. Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 8

Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores:

Passo 9

Agora, precisamos determinar as constantes e usando a condição inicial .
Substituindo :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos .

Resposta

A solução geral do sistema é:

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