Ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! A gente tem um sistema linear de duas equações com uma matriz de coeficientes e uma condição inicial específica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, além de saber como montar a solução geral de um sistema linear. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara. Temos:
Aqui,
é um vetor coluna com duas funções, e
é a derivada de
em relação ao tempo.
Passo 3
Para resolver o sistema, vamos começar encontrando os autovalores da matriz dos coeficientes:
Os autovalores
são encontrados resolvendo o determinante
, onde
é a matriz identidade.
Passo 4
Calculemos o determinante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Substituímos na equação
:
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação,
. Podemos escolher
, então o autovetor é:
Passo 7
Para
:
Substituímos na equação
:
Isso nos dá as equações:
Então,
e
é livre. Podemos escolher
, então o autovetor é:
Passo 8
Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores:
Passo 9
Agora, precisamos determinar as constantes
e
usando a condição inicial
.
Substituindo
:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos
.
Resposta
A solução geral do sistema é: