Um bote motorizado e seu tripulante têm uma massa de 120 quilogramas e estava inicialmente no repouso. O motor exerce uma força constante de 10 newtons, na direção do movimento. A resistência exercida pela água, ao movimento, é, em módulo, igual ao dobro da velocidade.
a. Determine a velocidade do bote em função do tempo.
b. Determine a velocidade limite do bote.
c. Faça um esboço do gráfico da velocidade em função do tempo.
a. Determine a velocidade do bote em função do tempo.
b. Determine a velocidade limite do bote.
c. Faça um esboço do gráfico da velocidade em função do tempo.
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre o movimento de um bote motorizado. O foco aqui é aplicar as leis de Newton para entender como a força do motor e a resistência da água afetam a velocidade do bote ao longo do tempo. Precisaremos usar conceitos de forças, aceleração e equações diferenciais para determinar a velocidade em função do tempo, a velocidade limite e também esboçar o gráfico dessa velocidade.
Passo 2
Parte a: Determinar a velocidade do bote em função do tempo.
Primeiro, vamos identificar as forças atuantes no bote:
- Força do motor (
): 10 N na direção do movimento. - Força de resistência (
): Igual a , onde é a velocidade do bote.
Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante (
) é igual à massa (
) multiplicada pela aceleração (
):
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
), podemos escrever:
Substituindo as forças:
Agora, vamos rearranjar a equação para resolver a equação diferencial:
Simplificando:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar
.
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial:
A equação diferencial é:
Para resolver, usamos o fator integrante:
Multiplicando ambos os lados da equação pela
:
Isso nos permite reescrever a equação como:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Aplicando a condição inicial:
Sabemos que o bote estava inicialmente no repouso, ou seja,
.
Substituindo
na equação:
Portanto, a expressão da velocidade em função do tempo fica:
Passo 5
Parte b: Determinar a velocidade limite do bote.
A velocidade limite ocorre quando o tempo tende ao infinito (
). Observando a expressão de
:
Quando
, o termo
tende a zero. Portanto:
Passo 6
Parte c: Esboço do gráfico da velocidade em função do tempo.
O gráfico de
é uma curva exponencial que começa em
e assintota a
. Inicialmente, a velocidade aumenta rapidamente, mas à medida que o tempo passa, a taxa de aumento diminui, aproximando-se cada vez mais da velocidade limite.
Resposta
a. A velocidade do bote em função do tempo é
metros por segundo.
b. A velocidade limite do bote é de 5 m/s.
c. O gráfico de velocidade versus tempo é uma curva que começa em 0 m/s e assintota a 5 m/s, aumentando rapidamente no início e desacelerando à medida que se aproxima da velocidade limite.
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