Calcule as seguintes derivadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas de funções que têm potências e raízes. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular potências e aplicar a regra da potência na derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. A raiz cúbica pode ser escrita como uma potência com expoente . Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a fração como uma potência negativa. Isso nos ajuda a aplicar a regra da potência diretamente. Assim:

Passo 4

A próxima etapa é aplicar a regra da potência para derivar a função. A regra da potência diz que a derivada de é . No nosso caso, .

Passo 5

Aplicando a regra da potência:

Passo 6

Vamos simplificar os expoentes:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Finalmente, podemos reescrever a derivada em forma de fração para ficar mais clara:

Resposta

A derivada da função é .

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Um bote motorizado e seu tripulante têm uma massa de 120 quilogramas e estava inicialmente no repouso. O motor exerce uma força constante de 10 newtons, na direção do movimento. A resistência exercida pela água, ao movimento, é, em módulo, igual ao dobro da velocidade.
a. Determine a velocidade do bote em função do tempo.
b. Determine a velocidade limite do bote.
c. Faça um esboço do gráfico da velocidade em função do tempo.
Calcule a integral indefinida.
Ache a solução geral do sistema dado.
Calcule a integral indefinida.