Calcule a integral indefinida.
integral 12(cos (x)+|cos (x)|) d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que precisamos fazer. O exercício pede para calcular a integral indefinida de . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral e propriedades das funções trigonométricas e do valor absoluto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da integral: . Para facilitar, podemos chamar de . Assim, a expressão fica .

Passo 3

Sabemos que o valor absoluto de uma função depende se ela é positiva ou negativa:
  • Se , então .
  • Se , então .
Vamos considerar esses dois casos separadamente.

Passo 4

Caso 1: 12(C + |C|) = 12(C + C) = 12(2C) = C = cos(x)
Nesse caso, integral cos(x) , dx . Substituindo na expressão:
integral cos(x) , dx = sin(x) + K
Então, a integral fica:
A integral de é . Portanto:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Caso 2: 12(C + |C|) = 12(C - C) = 12(0) = 0
Nesse caso, integral 0 , dx = 0 + K . Substituindo na expressão:
Então, a integral fica:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
integral 12(cos(x) + |cos(x)|) , dx = sin(x) + K, & se cos(x) >= 0 K, & se cos(x) < 0

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