Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , dos gráficos das funções dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o volume do sólido que é formado quando a curva da função no intervalo de até é girada em torno do eixo . Para isso, vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma curva em torno de um eixo, cada pequeno pedaço da curva forma um disco sólido. O volume total do sólido é a soma de todos esses discos. A fórmula para o volume de um sólido de revolução usando esse método é:
Aqui, é a função que está sendo girada, e e são os limites do intervalo.

Passo 3

No nosso caso, a função é , e os limites são de até . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Simplificando a função dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 1 a 4:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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