Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, dos gráficos das funções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o volume do sólido que é formado quando a curva da função
no intervalo de
até
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma curva em torno de um eixo, cada pequeno pedaço da curva forma um disco sólido. O volume total do sólido é a soma de todos esses discos. A fórmula para o volume de um sólido de revolução usando esse método é:
Aqui,
é a função que está sendo girada, e
e
são os limites do intervalo.
Passo 3
No nosso caso, a função é
, e os limites são de
até
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Simplificando a função dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 1 a 4:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.