Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para resolver um sistema de equações diferenciais usando o método da variação de parâmetros. O sistema é:
Nesse caso, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral do sistema homogêneo e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado, ou seja, onde o lado direito da equação é zero:
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.
Passo 3
Vamos encontrar os autovalores
resolvendo o determinante:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então:
Passo 4
Os autovalores são
e
. Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos:
Isso resulta em:
Resolvendo, encontramos que um autovetor é:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores encontrados, a solução geral do sistema homogêneo é dada por:
Onde
e
, já que
.
Então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
usando a variação de parâmetros. A ideia é procurar
, onde
é uma matriz a ser determinada.
Primeiro, montamos a matriz fundamental
com as soluções do homogêneo:
Passo 7
Calculamos a matriz inversa de
,
, para usar na fórmula da variação de parâmetros:
Calculando o determinante:
Então:
Passo 8
Aplicamos a fórmula da variação de parâmetros:
Primeiro, calculamos
vezes o termo não homogêneo:
Simplificando:
Passo 9
Vamos integrar cada componente:
Para a primeira componente:
E para a segunda componente:
Essas integrais podem ser resolvidas usando métodos de integração por partes e identidades trigonométricas.
Passo 10
Após realizar as integrais, obtemos as funções
que serão multiplicadas pela matriz fundamental
. Somando essa solução particular à solução homogênea, temos a solução geral do sistema:
Resposta
A solução geral do sistema é dada por:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.