Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
X' = (1 -2; 1 -1) X + (t g t) C 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para resolver um sistema de equações diferenciais usando o método da variação de parâmetros. O sistema é:
Nesse caso, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral do sistema homogêneo e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado, ou seja, onde o lado direito da equação é zero:
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.

Passo 3

Vamos encontrar os autovalores lambda resolvendo o determinante:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então:

Passo 4

Os autovalores são e . Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos:
Isso resulta em:
Resolvendo, encontramos que um autovetor é:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores encontrados, a solução geral do sistema homogêneo é dada por:
Onde e , já que .
Então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros. A ideia é procurar , onde U(t) é uma matriz a ser determinada.
Primeiro, montamos a matriz fundamental Phi(t) com as soluções do homogêneo:

Passo 7

Calculamos a matriz inversa de Phi(t), Phi^(-1)(t), para usar na fórmula da variação de parâmetros:
Calculando o determinante:
Então:

Passo 8

Aplicamos a fórmula da variação de parâmetros:
Primeiro, calculamos Phi^(-1)(t) vezes o termo não homogêneo:
Simplificando:

Passo 9

Vamos integrar cada componente:
Para a primeira componente:
E para a segunda componente:
Essas integrais podem ser resolvidas usando métodos de integração por partes e identidades trigonométricas.

Passo 10

Após realizar as integrais, obtemos as funções U(t) que serão multiplicadas pela matriz fundamental Phi(t). Somando essa solução particular à solução homogênea, temos a solução geral do sistema:

Resposta

A solução geral do sistema é dada por:
çã
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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