Determine o limite lim (x, y) (0,0) yx^2+y^2, se existir, ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite . A matéria aqui é sobre limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como os limites funcionam quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar ver o que acontece se a gente se aproxima de 0x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0 pelo eixo , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Então, pelo eixo , o limite parece ser .

Passo 3

Agora, vamos tentar se aproximar pelo eixo y0^2 + y^2 = yy^2 = 1y , onde . Substituindo na função, temos:
À medida que se aproxima de , tende ao infinito ou menos infinito, dependendo de como se aproxima. Isso já indica que o limite pode não existir.

Passo 4

Para confirmar, vamos escolher uma trajetória diferente, por exemplo, xx^2 + x^2 = x2x^2 = 12x . Substituindo na função:
Novamente, conforme se aproxima de , tende ao infinito ou menos infinito.

Passo 5

Como vimos, dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar de , o limite da função pode ser , ou . Isso mostra que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe.

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