Determine o limite
, se existir, ou mostre que esse limite não existe.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite
. A matéria aqui é sobre limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como os limites funcionam quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar ver o que acontece se a gente se aproxima de
pelo eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função, temos:
Então, pelo eixo
, o limite parece ser
.
Passo 3
Agora, vamos tentar se aproximar pelo eixo
, onde
. Substituindo
na função, temos:
À medida que
se aproxima de
,
tende ao infinito ou menos infinito, dependendo de como
se aproxima. Isso já indica que o limite pode não existir.
Passo 4
Para confirmar, vamos escolher uma trajetória diferente, por exemplo,
. Substituindo na função:
Novamente, conforme
se aproxima de
,
tende ao infinito ou menos infinito.
Passo 5
Como vimos, dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar de
, o limite da função pode ser
,
ou
. Isso mostra que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite não existe.