Encontrar a fórmula para a
-ésima soma parcial da série
e usá-la para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma fórmula para a
-ésima soma parcial da série
. Isso envolve somar os primeiros
termos dessa sequência. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries e somas parciais, além de usar a técnica de frações parciais para simplificar os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observamos que o
-ésimo termo é
. Queremos somar esses termos de
até
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo usando frações parciais. A ideia é quebrar
em duas frações mais simples. Encontramos números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para encontrar
e
, escolhemos valores que simplifiquem a equação. Se
:
Se
:
Então, a fração parcial fica:
Passo 4
Agora, vamos somar os termos de
até
usando a expressão de frações parciais:
Escrevendo os primeiros termos, temos:
Passo 5
Observamos que muitos termos se cancelam na soma:
Isso acontece porque cada
cancela com
do próximo termo.
Passo 6
Então, a fórmula para a
-ésima soma parcial é:
Passo 7
Agora, para encontrar a soma da série inteira, vamos considerar o limite da soma parcial quando
vai para o infinito:
Resposta
A soma da série é
.