Encontrar a fórmula para a n-ésima soma parcial da série 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + ... + 1/((n+1)(n+2)) + ... e usá-la para encontrar a soma da série se ela convergir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série . Isso envolve somar os primeiros n termos dessa sequência. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries e somas parciais, além de usar a técnica de frações parciais para simplificar os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observamos que o k-ésimo termo é . Queremos somar esses termos de k=1 até .

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo usando frações parciais. A ideia é quebrar em duas frações mais simples. Encontramos números A e B tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Para encontrar A e B, escolhemos valores que simplifiquem a equação. Se :
Se :
Então, a fração parcial fica:

Passo 4

Agora, vamos somar os termos de k=1 até usando a expressão de frações parciais:
Escrevendo os primeiros termos, temos:

Passo 5

Observamos que muitos termos se cancelam na soma:
Isso acontece porque cada cancela com do próximo termo.

Passo 6

Então, a fórmula para a n-ésima soma parcial é:

Passo 7

Agora, para encontrar a soma da série inteira, vamos considerar o limite da soma parcial quando n vai para o infinito:

Resposta

A soma da série é 1/2.

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