Ache a solucao geral de
y'' - 4y' + 3y = e^(3t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular para o termo não homogêneo ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes reais:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito, o termo já aparece na solução homogênea. Isso significa que vamos multiplicar por para encontrar a solução particular.
Assumimos:

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:

Passo 7

Simplificando a equação:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 8

Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
f1(x)=x, f2(x)=x^2, f3(x)=x^(-1);
Ache a solucao narticular de: y'' - y' - 2y = 10 cos(t)
Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
x^3 y'''' + 6 x^2 y'' + 4 x y' - 4 y = 0, x > 0;
y(1)=0, y'(1)=0, y''(1)=1, y1(x)=x, y2(x)=x^2, y3(x)=x^(-2) ln(x)
Ache a solucao geral de
y'' - 2y' + y = t + e^t
(Ache solucao particular de y'' - 2y' + y = t, use superposicao e a solucao particular obtida no exercicio 4).