Ache a solucao geral de
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular para o termo não homogêneo (
).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes reais:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observando o lado direito, o termo
já aparece na solução homogênea. Isso significa que vamos multiplicar por
para encontrar a solução particular.
Assumimos:
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 7
Simplificando a equação:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo
. Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
;
Ache a solucao narticular de:
Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
;
Ache a solucao geral de
(Ache solucao particular de
, use superposicao e a solucao particular obtida no exercicio 4).